如何に 冪計算 を すべき か

以下は努力家の少年　B が　A={{1, -1}, {1, 3}}の冪　A^n を
 　　　　　　　　　　知りたくてたまんない
 　　と　シコシコ　合成写像∈Hom(C^2,C^2) を　求めた　顛末である；
 
 {{1, 0}, {0, 1}}, {{1, -1}, {1, 3}},
 {{0, -4}, {4, 8}}, {{-4, -12}, {12, 20}},
 {{-16, -32}, {32,48}}, {{-48, -80}, {80, 112}},
 {{-128, -192}, {192, 256}}, {{-320, -448}, {448, 576}},
 {{-768, -1024}, {1024, 1280}}, {{-1792, -2304}, {2304, 2816}},
 {{-4096, -5120}, {5120, 6144}}, {{-9216, -11264}, {11264,13312}},
 {{-20480, -24576}, {24576,28672}}, {{-45056, -53248}, {53248,61440}},
 {{-98304, -114688}, {114688,131072}},{{-212992, -245760},{245760,278528}},
 {{-458752, -524288}},{524288,589824}},{{-983040,-1114112},{1114112,1245184}}, {{-2097152, -2359296}, {2359296,2621440}},
 {{-4456448, -4980736}, {4980736, 5505024}}}
 
 (1) から　A^n を　推測し,数學的帰納法で　推測が正しいことを証明願います;
 
 (2) 人生は有限なので　この調子で　例えば
 > M= [ - 1  - 1  - 1  - 2 ]
 >    [                    ]
 >    [  1    1    1    0  ]
 >    [                    ]
 >    [  2    1    2    2  ]
 >    [                    ]
 >    [  1    1    0    3  ]

    について　M^n を　n=0,1,2,3,,,,18,19...69.....と　求めて
　　推測しようと　粘っても　及ばぬことと　放棄したくなる　でせう...
　　
　　https://www.youtube.com/watch?v=4PAw1_M04hU
　　(<----広中平祐先生が　壇上で　研究回顧し　歌われた　及ばぬことと...)
　　
https://www.youtube.com/watch?v=fz9XHjdjzTE&start_radio=1&list=RDfz9XHjdjzTE#t=69
　　
　　A∈Hom[C^2,C^2] について　A^n を
　　他の発想で導出過程を明記し速やかに求めて下さい;
　　
　　M∈Hom[C^4,C^4] について　M^n を
　　他の発想で導出過程を明記し速やかに求めて下さい;
　　
　　http://ogyahogya.hatenablog.com/entry/2017/02/06/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%AF%BE%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0
　　
　　行列の指数関数　Exp(A) を求めて下さい!
　　
　　行列の指数関数　Exp(M) を求めて下さい!