角A


 integer-sided triangle (整三角形と云いたい)
 
 http://oeis.org/A106430
 
    ではないが
 ∠B=n*∠A(n∈{2,3,,,69,,,})
   の 問題 に ググリ 邂逅 ;
 http://scipio.secret.jp/2014Entrance/2014kyoudaiS3.pdf
        流行りの 改竄を為す;
 ∠B=3*∠A としたとき ↑を解いて下さい;
 
 
 ∠B=4*∠A としたとき ↑を解いて下さい;
 
 
 ∠B=5*∠A としたとき ↑を解いて下さい;
 
     以下 ∠B=n*∠A(n∈{6,7,,,69,,,})をも ;
     
                   ∠A 
 https://www.amazon.co.jp/%E7%94%B0%E4%B8%AD%E8%A7%92%E6%A0%84-%E6%88%A6%E5%BE%8C%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E6%82%B2%E3%81%97%E3%81%8D%E8%87%AA%E7%94%BB%E5%83%8F-%E4%B8%AD%E5%85%AC%E6%96%B0%E6%9B%B8-%E6%97%A9%E9%87%8E-%E9%80%8F/dp/412102186X#reader_412102186X
 


投稿者:■らすかる■   投稿日:2018年11月 7日(水)14時10分48秒 
    > No.16141[元記事へ]
GAIさんへのお返事です。

> 面白い三角形での
> ∠A=2∠B
 > の関係を生み出す(a,b,c)=(12,9,7)以外の△ABCの形状を調べてみた。

∠A=2∠Bを満たすaの数列は
http://oeis.org/A106430 にありました。
[one being the double of the other]

[∠A=n∠B (n∈{2,3,4,....,2018,,,,)研究したい?]

=== ↑の 議論絡みで 少女 D が Dual 問題を 瞬時に 産んだ ===
 
S ;x^2+4*y^2-4*y*z=0  なる 低次の代数曲面を定義する。

    S の 双対曲面 S^★を もう 辟易「うんざり はちべい」でせうが
         多様な発想で 必ず 求めて下さい;
        (そして 各発想を此処に 投稿願います)
         (<---世界中の 人の 関心事ですので )
      S^★ の 君の名は?;___________________     
           
     
不定方程式(Diophantine equation)達 を 是非解いて下さい;
S^★∩Z^3

      S^★∩Z^3∋(6, 5, 2^2)ですか?[<---2^2面白いですか?]

      S^★∩Z^3∋(12, 7, 3^2)ですか?[<---2^2面白いですか?]


S∩Z^3

  http://www10.plala.or.jp/mondai/columun/baikaku.pdf
  
 http://ikimonotuusin.com/doc/304.htm
 だ そうです [心外 極まり math が...] 
  

禁欲せず 真に「自然な発想でも解いて下さい!」

https://math.berkeley.edu/~sander/spring2016math16B/ps2solutions.pdf
       ↑の どの問も 「自然な発想で解かれている」
      (Exercise (7.3.26). には チイサナ ミス が 在る)
  
  束縛条件のもとで最適化を 行う Exercise (7.4.6).Exercise (7.4.19) は  
  ラグランジュの未定乗数法(method of Lagrange multiplier)
       で 真に「自然な発想で解かれている」
      
        この Exercise (7.4.6).Exercise (7.4.19)
           を ■method of Lagrange multiplier
  で素直に解くことを 禁じられた■ と 解した 高校 の せんせい は
     如何なる 発想達で 解いて 生徒に示して しまうか?
          多様な発想を忖度し 例示 下さい;
 https://www.youtube.com/watch?v=EYnuZLPbTsE&start_radio=1&list=RDEYnuZLPbTsE#t=40    
     
https://math.berkeley.edu/~sander/

       S; 3*x + 5*y + z - x^2 - y^2 - z^2=-28
  の双対曲面 S^★ f^★(x,y,z)=0  を 多様な発想で求めて下さい;
 
  不定方程式(Diophantine equation) を 解いて下さい;
  S^★∩Z^3=
 
    制約条件 x + y + z = -6 のもとで f^★(x,y,z)
     の 最小値を  多様な発想で求めて下さい;
    禁欲せず 真に「自然な発想でも解いて下さい!」

    https://algebrateahousejmath.wordpress.com/
 
   https://en.wikipedia.org/wiki/University_of_California,_Berkeley
 

群構造が はいつたら どんな 美味しい 事 が ありますか?

群構造が はいつたら どんな 美味しい 事 が ありますか?
 

    中学生知悉の 易し過ぎの 直線 L; y=2*(x - 3)- 67/4
           上には 無論 ●有理点が 無限に在り●
                      例えば
{{-1, -(99/4)}, {-(68/69), -(6823/276)}, {-(67/69), -(6815/276)}, {-(
   22/23), -(2269/92)}, {-(65/69), -(6799/276)}, {-(64/69), -(6791/
   276)}, {-(21/23), -(2261/92)}, {-(62/69), -(6775/276)}, {-(61/
   69), -(6767/276)}, {-(20/23), -(2253/92)}, {-(59/69), -(6751/
   276)}, {-(58/69), -(6743/276)}, {-(19/23), -(2245/92)}, {-(56/
   69), -(6727/276)}, {-(55/69), -(6719/276)}, {-(18/23), -(2237/
   92)}, {-(53/69), -(6703/276)}, {-(52/69), -(6695/276)}, {-(17/
   23), -(2229/92)}, {-(50/69), -(6679/276)}, {-(49/69), -(6671/
   276)}, {-(16/23), -(2221/92)}, {-(47/69), -(6655/276)}, {-(2/3), -(
   289/12)}, {-(15/23), -(2213/92)}, {-(44/69), -(6631/276)}, {-(43/
   69), -(6623/276)}, {-(14/23), -(2205/92)}, {-(41/69), -(6607/
   276)}, {-(40/69), -(6599/276)}, {-(13/23), -(2197/92)}, {-(38/
   69), -(6583/276)}, {-(37/69), -(6575/276)}, {-(12/23), -(2189/
   92)}, {-(35/69), -(6559/276)}, {-(34/69), -(6551/276)}, {-(11/
   23), -(2181/92)}, {-(32/69), -(6535/276)}, {-(31/69), -(6527/
   276)}, {-(10/23), -(2173/92)}, {-(29/69), -(6511/276)}, {-(28/
   69), -(6503/276)}, {-(9/23), -(2165/92)}, {-(26/69), -(6487/
   276)}, {-(25/69), -(6479/276)}, {-(8/23), -(2157/92)}, {-(1/3), -(
   281/12)}, {-(22/69), -(6455/276)}, {-(7/23), -(2149/92)}, {-(20/
   69), -(6439/276)}, {-(19/69), -(6431/276)}, {-(6/23), -(2141/
   92)}, {-(17/69), -(6415/276)}, {-(16/69), -(6407/276)}, {-(5/
   23), -(2133/92)}, {-(14/69), -(6391/276)}, {-(13/69), -(6383/
   276)}, {-(4/23), -(2125/92)}, {-(11/69), -(6367/276)}, {-(10/
   69), -(6359/276)}, {-(3/23), -(2117/92)}, {-(8/69), -(6343/
   276)}, {-(7/69), -(6335/276)}, {-(2/23), -(2109/92)}, {-(5/69), -(
   6319/276)}, {-(4/69), -(6311/276)}, {-(1/23), -(2101/92)}, {-(2/
   69), -(6295/276)}, {-(1/69), -(6287/276)}, {0, -(91/4)}, {1/
  69, -(6271/276)}, {2/69, -(6263/276)}, {1/23, -(2085/92)}, {4/
  69, -(6247/276)}, {5/69, -(6239/276)}, {2/23, -(2077/92)}, {7/
  69, -(6223/276)}, {8/69, -(6215/276)}, {3/23, -(2069/92)}, {10/
  69, -(6199/276)}, {11/69, -(6191/276)}, {4/23, -(2061/92)}, {13/
  69, -(6175/276)}, {14/69, -(6167/276)}, {5/23, -(2053/92)}, {16/
  69, -(6151/276)}, {17/69, -(6143/276)}, {6/23, -(2045/92)}, {19/
  69, -(6127/276)}, {20/69, -(6119/276)}, {7/23, -(2037/92)}, {22/
  69, -(6103/276)}, {1/3, -(265/12)}, {8/23, -(2029/92)}, {25/
  69, -(6079/276)}, {26/69, -(6071/276)}, {9/23, -(2021/92)}, {28/
  69, -(6055/276)}, {29/69, -(6047/276)}, {10/23, -(2013/92)}, {31/
  69, -(6031/276)}, {32/69, -(6023/276)}, {11/23, -(2005/92)}, {34/
  69, -(6007/276)}, {35/69, -(5999/276)}, {12/23, -(1997/92)}, {37/
  69, -(5983/276)}, {38/69, -(5975/276)}, {13/23, -(1989/92)}, {40/
  69, -(5959/276)}, {41/69, -(5951/276)}, {14/23, -(1981/92)}, {43/
  69, -(5935/276)}, {44/69, -(5927/276)}, {15/23, -(1973/92)}, {2/
  3, -(257/12)}, {47/69, -(5903/276)}, {16/23, -(1965/92)}, {49/
  69, -(5887/276)}, {50/69, -(5879/276)}, {17/23, -(1957/92)}, {52/
  69, -(5863/276)}, {53/69, -(5855/276)}, {18/23, -(1949/92)}, {55/
  69, -(5839/276)}, {56/69, -(5831/276)}, {19/23, -(1941/92)}, {58/
  69, -(5815/276)}, {59/69, -(5807/276)}, {20/23, -(1933/92)}, {61/
  69, -(5791/276)}, {62/69, -(5783/276)}, {21/23, -(1925/92)}, {64/
  69, -(5767/276)}, {65/69, -(5759/276)}, {22/23, -(1917/92)}, {67/
  69, -(5743/276)}, {68/69, -(5735/276)}, {1, -(83/4)}}
 
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/154115859347244523177.gif

 この有理点全体の集合 L∩Q^2 に 群構造が 入る ように
    和を 定義して 単位元も 求めて下さい;
     「あなたならどう 定義 する」
 https://www.youtube.com/watch?v=2-C9PAFmL5c&start_radio=1&list=RD2-C9PAFmL5c#t=36
 
  群構造が はいつたら どんな 美味しい 事 が ありますか?
 
 
 https://artofproblemsolving.com/community/c7t177f7h1674375_the_rational_points_on_curvex4y4x2y25x25y2130
The rational points on curve:  c; x^4+y^4-x^2y^2-5x^2-5y^2+13=0
c∩Q^2 が 空でなければ 群構造を ゐれて下さい;


c∩Q^2 が 空ならば 其の証明を願います;


cの双対曲線 c^★を 多様な発想で 是非 求めて下さい;
斎次化( Homogenization ; 同次化 ) は しておきます;
X^4 - X^2 Y^2 + Y^4 - 5 X^2 Z^2 - 5 Y^2 Z^2 + 13 Z^4=0

c^★ の 特異点達を 求めて下さい;

c には 無論 高校生が よく指導され 邂逅する 二重接線 達が 在る。
              それ等を 全てモトメテ下さい;

c^★の 有理点全体の集合 c^★∩Q^2 に 群構造が 入る ように
  和を 定義して 単位元も 求めて下さい;
  
  

Équation diophantienne

↓の 不定方程式(Équation diophantienne)に 邂逅し

https://artofproblemsolving.com/community/c7t177f7h1697956_diophantine_equation
    <--- 此処の 夜[昼の]の 訪問者が おられ math ね。
      https://www.youtube.com/watch?v=fHjTsFIVnzo

         少女 A が 次の 問題群を 産んだ;
       
 S; 65536 x^4 y^2-131072 x^4 y z+65536 x^4 z^2-131072 x^3 y^3+
 131072 x^3 y^2 z+131072 x^3 y z^2-2048 x^3 y-131072 x^3 z^3-2048 x^3 z+
 65536 x^2 y^4+131072 x^2 y^3 z-393216 x^2 y^2 z^2+8192 x^2 y^2+
 131072 x^2 y z^3-4096 x^2 y z+65536 x^2 z^4+8192 x^2 z^2+16 x^2-
 131072 x y^4 z+131072 x y^3 z^2-2048 x y^3+131072 x y^2 z^3-
 4096 x y^2 z-131072 x y z^4-4096 x y z^2-160 x y-2048 x z^3-160 x z+
 65536 y^4 z^2-131072 y^3 z^3-2048 y^3 z+65536 y^2 z^4+8192 y^2 z^2+
 16 y^2-2048 y z^3-160 y z+16 z^2+1 =0
 
    大抵の諸氏が 低次と 侮り 難い この S
   の双対曲面S^★ を 多様な発想で 是非 求めて下さい;
 
  不定方程式(Équation diophantienne)方程式を解いて下さい;
    S^★∩Z^3
   
    S^★∩Z^3の 2点 P1,P2 を指定し
    各点に於ける S^★の 接超平面H1,H2 を求め
    其の為す角を 求めて下さい;
   
    S上の有理点を 沢山求めてください!
   
   
    獲た有理点 Q1,Q2 を指定し
     各点に於ける Sの 接超平面Hy1,Hy2 を求め
    其の為す角を 求めて下さい;