読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

 

   これまでも 2.3度ありました が 飯高先生が ↓ を 記載
されて いますが 先生には どのように 見えておられるのでせうか?
 
           皆様には どのように 見えて math か??
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
hiroo lecture 1   投稿者:iitaka    投稿日:2016年12月28日(水)08時20分34秒 

   \section{虚数}

中学生の頃,平凡社百科辞典
虚数の箇所を読んだ.

 $$-1=\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\times (-1)}=1$$
を示してこのように虚数を使うと矛盾することがある.

二乗して $-1$ になる数を虚数単位という.

しかし,このような数はありえない,しかし結構使える.
たとえば3次方程式の解の公式では虚数なしではできない.


このようなことを知り非常に大きなショックを受けた.
早く大きくなって正しい虚数の理論を知りたいと願った.

高校1年の夏休みに開かれた高校(県立千葉高校)の講習会で数学の先生が虚数を矛盾なく存在する
 ことをしめしてくれた.


実数の対 $(a,b)$ に
 ついて加減乗除を導入し,これらが普通の数と同じ性質を持つことを証明する.

$(a,b)$ に対し次のように相等と演算を定義する.
 \begin{enumerate}

 \item  $(a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c,b=d$, \quad  ({\bf 相等})

 \item $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) $ , \quad  ({\bf 加法})

 \item  $(a,b)-(c,d) = (a-c,b-d)$ ,\quad  ({\bf 減法})

 \item  $k(a,b)= (ka,kb)$, \quad  ({\bf スカラー倍})

 \item $(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $ , \quad  ({\bf 乗法})
 \end{enumerate}
これらについて加法の結合法則や交換法則,
 乗法の結合法則や交換法則,そして分配法則を証明することができる.

若干,面倒なのは乗法の結合法則の証明である.

 $$\alpha =(a,b), \beta=(c,d), \gamma=(e,f)$$
とおくとき定義式だけで

$$\alpha \cdot ( \beta \cdot \gamma)=(\alpha \cdot  \beta) \cdot  \gamma $$
を確認することである.高校生ならこの計算をすることができる. しかし大人になるともうできない.

 

 (0,0) はゼロ元になり,

 (1,0) は乗法の単位元,すなわち, 1 になる.


しかし, $j=(0,1)$ とおくとき $j*j=(-1,0)=-1$ を満たす. $j^2=-1$ となる.

 $(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bj$ となる.

 $j$ を $i$  と書けばまさに複素数そのもので,
虚数単位とは $(0,1)$ のことである. この実在は疑いようがない.


こうしていかにも自然に虚数が導入されたので,先生はすごい,と思い感動した.

だいぶたってから,このような複素数の導入は天才
ハミルトン(William Rowan Hamilton、1805年8月4日 -1865年9月2日)が考えに考えて編み出した方法で
 この副産物がベクトルの概念あることを知った.
-------------------------------------------

http://edx.readthedocs.io/projects/edx-partner-course-staff/en/latest/exercises_tools/mathjax.html

https://www.mathjax.org/

         (<-----使われておられますか?)