やり損であったか

>次は、平成31年度神奈川県高校入試数学の問題です。面白そうな問題だと思うので、
>皆さん挑戦してみてください。

  >下図[はググれば眼前に]のように、△ABCは円Oに内接し、
        AB=7、BC=5、CA=8とする。
  >円Oの周上の点 Pを、AC⊥BPであるようにとり、ACとBPの交点をQとする。
>このとき、線分BPの長さを求めよ。


      方冪の定理なんて 教育されたか 甚だ 怪しく
https://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&ie=UTF-8&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&q=%e7%9f%a5%e3%82%89%e3%82%93%e3%81%b7%e3%82%8a+%e3%82%a4%e3%83%a9%e3%82%b9%e3%83%88
           して
  {20 (-5 Sqrt[3] x + Sqrt[3] x^2 - 11 y + Sqrt[3] y^2)= 0, Sqrt[3]*y = x}
  の●交わり● を簡単に求め {{0, 0}, {13/2, 13/(2 Sqrt[3])}}
             KARA  13/Sqrt[3]

刎頸之●交●
http://kanbunjuku.com/archives/448

     せっかくだから ↓の ついでに の各問を 
        本当に 解き やり損であったか
           否かを 投稿願います;
          
            やり ついでに

上の 易しい 円 c;20 (-5 Sqrt[3] x + Sqrt[3] x^2 - 11 y + Sqrt[3] y^2)= 0
   の双対曲線 c^★ を多様な発想で求めて下さい;
   
     c^★はcが二次曲線故 当然 c^★も と 少女A.
  何故 当然なのか ワケを記載願います。また c^★の名は?
   
   
       cとc^★で R^2 が 分かたれる。
   有界部分 Dj の 面積達を是非求めて下さい;
   
   
http://www.umekolife.net/entry/tsuide

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/tabi/tabi5.pdf