遅々として

「年が変わっても 相変わらず 遅遅として」 で 申し訳御座いませんが;

   頗る 低次ねぇーと 云われかねない 代数曲線 c; 2 x^3+x y^2+1=0
        の双対曲線 c^★ は 此れだぁ! と 晒している
  -27 x^4 y^2+4 x^3-108 x^2 y^4+72 x y^2-108 y^6-8==0
          のに 稀有であるが 邂逅した;
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/154629637169451359180.gif

   cの 双対曲線 c^★ が ↑で あることを 多様な発想で証明して下さい;
   発想(イ)
   発想(ロ)
   発想(ハ)
   発想(二)

        =====そして ここからが 本番ですが====;
   何故 g2,g3 を用いて c^★を 表現しているのかを
                   縷々 解説願います;

  ------------以上 再掲ですので 是非お願い致します----------

           【笑う門には福来たる】だそうですが

     ↓の係数 や 次数を 観て 「ケタ桁 嗤わないで 下さい!」
  c;  18522000 x^12+5292000 x^9+4762800 x^6 y^4+504000 x^6+476280 x^3 y^8
      -113400 x^3 y^4+16000 x^3+11907 y^12-5670 y^8+675 y^4=0

                 射影化しておきますので 定義
  
https://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/007/154537925159788567177.gif
            に従い 双対曲線 c^★を求めてください;

18522000 X^12+5292000 X^9 Z^3+4762800 X^6 Y^4 Z^2+504000 X^6 Z^6+476280 X^3 Y^8 Z-113400 X^3 Y^4 Z^5+16000 X^3 Z^9+11907 Y^12-5670 Y^8 Z^4+675 Y^4 Z^8=0


    c上の有理点を 求め 其れに対応する c^★の接線を求めて下さい;