数学セミナー 1998.07.88 に 酷似の問が

      昨今 恒等式 が 話題になって 
    諸氏が独自の発想を 提示されておられます。

          ↓  の 質疑応答 に 邂逅致しました;

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教えてください  
 
名前:そう    日付:2018/4/16(月) 21:52 <---只今 2018/4/20です。

x,y,zが x-2y+z=4 および 2x+y-3z=-7 を満たす時、
ax^2+2by^2+3cz^2=18 が常に成立するような定数 a,b.cの値を求めよ。

 Re: 教えてください
名前:WIZ    日付:2018/4/16(月) 22:52
x-2y+z = 4・・・・・(1)
2x+y-3z = -7・・・・・(2)
a(x^2)+2b(y^2)+3c(z^2) = 18・・・・・(3)

(1)より、
z = 4-x+2y・・・・・(4)

(4)を(2)に代入すると、
2x+y-3(4-x+2y) = -7
⇒ 5x-5y-12 = -7
⇒ y = x-1・・・・・(5)

(5)を(4)に代入すると、
z = 4-x+2(x-1) = x+2・・・・・(6)

(5)(6)を(3)に代入すると、
a(x^2)+2b((x-1)^2)+3c((x+2)^2) = 18
⇒ (a+2b+3c)(x^2)+(-4b+12c)x+(2b+12c) = 18
⇒ (a+2b+3c)(x^2)+4(-b+3c)x+2(b+6c-9) = 0

上記が恒等式である為には、
a+2b+3c = 0・・・・・(7)
-b+3c = 0・・・・・(8)
b+6c-9 = 0・・・・・(9)

(8)と(9)を加えると、
9c = 9
⇒ c = 1・・・・・(10)

(10)を(8)に代入すると、
b = 3c = 3・・・・・(11)

(10)(11)を(7)に代入すると、
a = -2b-3c = -2*3-3*1 = -9

# 計算間違いしているかもしれないので、スレ主さんにて良く検算してみてください。 
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 >GAI さんからのコメントです。(平成30年3月30日付け)

 > たまたまグレブナー基底について勉強していたら、
 > 3変数多項式環Q[x,y,z]のイデアルの基底で、都合のよい性質を有する
 > (辞書式順序が成立)ものとしてグレブナー基底を構築し、
 > これを元に解決するというテクニックに出会った。

 > 一応その道具で進めた経緯を記しておきます。

 > イデアル I={x^2+y+z-1,x+y^2+z-1,x+y+z^2-1}⊂Q[x,y,z]
 >からグレブナー基底を求める。

 > この作業は手作業でもやれないことはないが、
 >プログラム化させ計算機にかける手段をとる。
 >フリーソフトでGAPという数式処理システムを使う。
 
           なる ● GAI氏に倣い ● 
 I={x - 2 y + z - 4 ,2 x + y - 3 z -(-7),ax^2 + 2 by^2 + 3 cz^2 - 18}
      から(1) ●グレブナー基底を求めて!●  KARA
                 a,b,cをモトメテ下さい;
      
  (2) S;ax^2 + 2 by^2 + 3 cz^2 - 18=0なる曲面を定めて下さい;
   
  (3)    獲た S の 双対曲面 S^★を
         多様な発想で 是非 求めて下さい;
   
  (4) 不定方程式(Diophantine equation)
       を 解いて下さい; S∩Z^3=   
       
   (5) 不定方程式(Diophantine equation)
       を 解いて下さい;S^★∩Z^3= 
   
 私の 手元に 数学セミナー 1998.07.88 に 酷似の問が在る。
             と メモ書き 在り.
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/backnumber/1990/4.html